ראשי>האתר למקוריות במצוות>מצוות לפי רצון>עסקים כשרים>הלוואות>איסור ריבית>

ריבית 0 - הכלכלה האידיאלית

קוד: ריבית 0

סוג: טעם

מאת:

אל:

אם אתם מעוניינים לקבל הלוואה בלי ריבית, אנא לחצו כאן

אחד האיסורים החמורים בתורה הוא איסור ריבית. מקובל לחשוב שהאיסור הזה נובע משיקולים של חסד ורחמים על החלש, אך למעשה עומד מאחריו גם שיקול הגיוני של תועלת למשק.

1. פתיחה

במאמר משנת 1999, " Zero Nominal Interest Rates: Why They're Good and How to Get Them "
 ( http://minneapolisfed.org/research/qr/qr2221.pdf)
מוכיחים הכותבים, Harold L. Cole ו- Narayana Kocherlakota , שני כלכלנים בכירים בבנק הפדרלי של מיניאפוליס, שהמצב "הטוב ביותר" למשק, מבחינה כלכלית, מתקבל אם ורק אם שיעור הריבית הוא 0!

במאמר זה אנסה להסביר את ההוכחה בצורה פשוטה, שאינה דורשת ידע בכלכלה. המאמר הוא הרבה יותר פשוט מהמאמר המקורי; השמטתי כל פרט שאינו חיוני לצורך ההסבר. השמטתי גם את שני החלקים האחרונים של המאמר - פשוט מפני שלא הבנתי אותם. אני מקוה שבעתיד אמצא מישהו שיסכים להסביר לי.

לעומת זאת, הוספתי למאמר הרבה הסברים שנועדו להכניס הגיון לנוסחאות, וגם שיניתי מאד את הסגנון כדי שיהיה יותר קריא. המחברים המקוריים, כמובן, אינם אחראים לתוכן המאמר הזה בשום אופן.

עדיין, כדי להבין את המאמר דרוש קצת רקע מתימטי, ברמה של תיכון (חדו"א). השתדלתי להעביר כמה שיותר חישובים טכניים לנספחים, אבל לא הצלחתי לנסח את המאמר בלי נוסחאות מתמטיות בכלל.

לפני שנתחיל להתעסק בריביות, צריך קודם להבין מה המשמעות של "המצב הטוב ביותר", ואיך מוצאים אותו. לשם כך נפתור קודם בעיה פשוטה, ואז נתקדם בהדרגה לבעיות יותר מורכבות.

2. בעיית המפעל

נתחיל מבעיה של מפעל כלשהו, שצריך להחליט כמה שעות-עבודה לשכור (לשם פשטות אנחנו מתעלמים ממספר העובדים ובודקים רק את המספר הכולל של שעות-העבודה, בלי תלות בשאלה האם אלו שעות-עבודה של מעט אנשים במשרה מלאה או הרבה אנשים במשרה חלקית).

מחיר של שעת-עבודה הוא קבוע - על כל שעת-עבודה צריך לשלם שכר קבוע, שנסמן באות w (בשקלים).

אבל התועלת שמופקת מכל שעת-עבודה אינה קבועה, מכמה סיבות, למשל:

באופן כללי, ככל שהמפעל שוכר יותר שעות-עבודה - התועלת מכל שעת-עבודה נוספת (שנקראת "התועלת השולית" של העבודה) קטנה יותר.

אפשר להגדיר עבור המפעל הזה פונקציית ייצור , שמראה כמה מוצרים הוא מייצר עבור כל מספר של שעות עבודה שהוא שוכר. הפונקצייה תיראה בערך כך:

 

ככל שהמפעל שוכר יותר שעות עבודה - הוא יצליח לייצר יותר מוצרים, אבל התרומה של כל שעת-עבודה נוספת תהיה קטנה יותר.

אנחנו לא יודעים בדיוק מהי פונקציית הייצור של המפעל, ולכן נסמן אותה באופן כללי ב: f(n) , כאשר n הוא מספר שעות העבודה שהמפעל שכר.

נניח שהמפעל שוכר n שעות עבודה, ומחיר-השוק של כל מוצר שמייצר המפעל הוא p . במצב זה, הכסף שיקבל המפעל ממכירת המוצרים יהיה:

p * f(n)

הכסף שיצטרך המפעל לשלם לעובדים יהיה:

w*n

והרווח הנקי של החברה יהיה:

p*f(n) - w*n

כמה שעות עבודה כדאי לחברה לשכור?

כדי למצוא את נקודת המקסימום של הרווח, צריך לגזור את פונקציית הרווח לפי n , ולהשוות את הנגזרת ל0. התוצאה שמתקבלת היא:

p*f' n=w

הביטוי f' n    הוא הנגזרת של פונקציית הייצור לפי מספר שעות העבודה. הביטוי הזה מציין את התפוקה השולית של העבודה, כלומר (בקירוב) - כמה מוצרים נוספים יוכל המפעל לייצר אם ישכור עוד שעת עבודה אחת. כפי שהוסבר למעלה, הביטוי הזה הוא תמיד חיובי, אבל הוא קטן יותר ככל ש n גדול יותר.

לכל פונקציית-ייצור שנבחר נקבל נוסחה אחרת. למשל, אם פונקציית הייצור היא לוגריתמית:

f(n)=log(n)

אז:

f' n=1/n

ומספר השעות שכדאי למפעל לשכור הוא:

n = p/w

אבל אנחנו לא מתעניינים בפונקציות-ייצור מסויימות, אלא בנוסחה הכללית:

p*f'n= w

מהי המשמעות של הנוסחה הזאת? מה ההגיון שעומד מאחריה?

(אגב, במודל שלנו גם השכר w יכול להשתנות באופן חופשי. לדוגמה, אם אנשים מוכנים לעבוד יותר שעות, אז השכר שלהם יירד בהתאם, כך שהנוסחה תתקיים).

3. בעיית האדם

עכשיו נעבור לבעיה קצת יותר מסובכת - בעייה של אדם פשוט, שצריך להחליט מה לעשות כדי להיות מאושר. בניגוד למפעל מסחרי, האדם לא פועל רק כדי להרוויח עוד כסף; הוא רוצה לעשות עוד דברים, ולשם כך הוא צריך גם זמן פנוי. במאמר הזה נניח, לשם הפשטות, שהאושר של האדם תלוי בשני דברים: כמות המוצרים שיש לו, וכמות הזמן הפנוי שיש לו. ככל שהאדם עובד יותר יש לו יותר כסף לקנות מוצרים, אבל יש לו פחות זמן פנוי.

נסמן באות  c את מספר המוצרים שהאדם צורך בחודש, ובאות n את מספר שעות העבודה שהאדם עובד בחודש. האדם מרוויח n*w ש"ח תמורת עבודתו, וקונה בהם מוצרים שעולים p*c ש"ח, ולכן מתקיים האילוץ:

p*c = n*w

בכל שעת עבודה נוספת, האדם מרוויח עוד w שקלים, ויכול לקנות בהם עוד w/p מוצרים. כדי לאפיין את נקודת שיווי המשקל של האדם, נתאר את שתי הסיבות שיכולות לגרום לאדם לרצות לשנות את מצבו:

כדי לתאר את הדברים בצורה יותר מדוייקת, צריך לייצג את האושר של האדם בצורה כמותית. מקובל לסמן את האושר של האדם כפונקציה:  u(c,n) - האושר כפונקציה של כמות המוצרים וכמות שעות העבודה. הנגזרת החלקית ucהיא כמות האושר שהאדם מרוויח מכל מוצר נוסף (והיא מספר חיובי), והנגזרת החלקית unהיא כמות האושר שהאדם "מרוויח" מכל שעת-עבודה נוספת (והיא מספר שלילי, כי האדם נעשה פחות מאושר כשיש לו פחות פנאי). כפי שהסברנו למעלה, בנקודת שיווי המשקל, מתקיים התנאי:

-un= uc* (w/p)

כלומר, האושר שהאדם מפסיד מכל שעת-עבודה נוספת שווה בדיוק לאושר שהאדם מרוויח מהמוצרים שהוא קונה בשכר שהוא מקבל עבור אותה שעת-עבודה.

ניתן להגיע לאותה תוצאה בצורה שיטתית יותר, בשיטה שפיתח המתמטיקאי הצרפתי לגראנג'; ראו ב נספח א.

4. בעיית המדינה

עכשיו נשלב את שתי הבעיות שפתרנו קודם - בעיית המפעל ו בעיית האדם. נניח שבמדינה יש מפעל אחד ואדם אחד: האדם עובד במפעל, מקבל משכורת, ומשתמש בה כדי לקנות את המוצרים שהמפעל מייצר. כל אחד מהם עושה את הדבר שהכי טוב בשבילו: המפעל פועל ע"פ הנוסחה של פרק 2, והאדם פועל ע"פ הנוסחה של פרק 3. אם נציב את הנוסחאות אחת בתוך השניה נקבל:

f n=-u n/ u c

כלומר: לא משנה מה יהיו המחירים ומה יהיו המשכורות - תמיד יתקיים קשר קבוע בין פונקציית הייצור של המפעל לבין פונקציית האושר של האדם, כאשר האדם עושה את מה שהכי טוב עבורו.

שימו לב - אנחנו לא יודעים מהי בדיוק נקודת "שיא האושר" עבור האדם - אנחנו רק יודעים שיש תנאי הכרחי שצריך להתקיים בנקודה הזאת: כמות המוצרים שהמפעל מייצר בכל שעת עבודה נוספת ( f n) שווה לכמות המוצרים שהאדם צריך לקבל, על-מנת לפצות אותו על האושר שהוא מפסיד מכך שיש לו שעת-פנאי אחת פחות ( u n / u c).

אם צד שמאל גדול יותר - אז כדאי לאדם לעבוד יותר שעות: בכסף שיקבל, יוכל לקנות מוצרים שיפצו אותו על הפסד שעות-הפנאי. אם צד שמאל גדול יותר - אז כדאי לאדם לעבוד פחות שעות; רק אם שני הצדדים שווים, אז המשק נמצא בשיווי משקל.

הנוסחה הזאת נכונה לא רק במדינה עם מפעל אחד ואדם אחד: גם אם יש במדינה הרבה מפעלים, שמייצרים (במשותף) לפי הפונקציה f , והרבה פועלים, שהאושר (המשותף) שלהם נקבע ע"פ הפונקציה u , התוצאה תהיה אותה תוצאה.

כל זאת, בהנחה שהמשק במדינה הוא משק סגור , כלומר - אין ייבוא וייצוא; האנשים במדינה קונים רק את המוצרים שמיוצרים במפעלים, והמפעלים מעסיקים רק את אנשי המדינה. אם המשק הוא משק פתוח הבעיה מסתבכת, ולא נתייחס לזה כאן.

5. גורם הזמן - בעיית האדם

עד עכשיו התעלמנו מגורם הזמן: התייחסנו רק לקשר בין כמות העבודה לכמות המוצרים. במציאות לזמן יש משמעות: כשאדם עובד, הוא לא מקבל את השכר מייד אלא רק בסוף תקופה (סוף היום או סוף החודש). בינתיים, אם הוא צריך כסף למוצרים, הוא צריך לקחת הלוואה-בריבית. לעומת זאת, אם יש לו יותר כסף ממה שהוא צריך לקניית מוצרים, הוא יכול לתת הלוואה-בריבית. כל הגורמים האלה משפיעים על החלטותיו של האדם.

כדי לבדוק מה כדאי לאדם לעשות במצב כזה, נחלק את הזמן לחודשים. לכל חודש ניתן מספר ( t ). נתאר את הפעולות של אדם ממוצע במשך חודש מספר t :

מהשוואה בין סוף החודש לבין תחילת החודש הבא, מקבלים את האילוץ שמגביל את פעולותיו של האדם: כמות הכסף שיש לאדם בסוף החודש (שכר+החזרי הלוואות) צריכה להיות שווה לכמות הכסף שבה הוא משתמש במשך החודש הבא (קניות+הלוואות):

w tn t+b t(1+i t) = p t+1c t+1+b t+1

הפעם, כאשר האדם עובד שעה נוספת, הוא לא מקבל את השכר מייד אלא רק בסוף החודש. אם הוא רוצה לקנות מוצרים נוספים כבר עכשיו, הוא צריך לקחת הלוואה בריבית, שאותה יצטרך להחזיר בסוף החודש. כאשר האדם עובד שעה נוספת, הוא יכול לקחת הלוואה נוספת על-סך  (w t / (1+i t שקלים: בסוף החודש, כשיקבל את המשכורת, יוכל להחזיר בדיוק w t.

לכן, בנקודת שיווי המשקל של האדם, בכל חודש t, מתקיים תנאי דומה לתנאי שקיבלנו בסוף פרק 3, רק שהפעם, במקום השכר w, אנחנו כותבים את הסכום שהאדם יכול לקבל בהלוואה, כנגד השכר הזה:

-u nt = u ct * (w t / (1+i t )) / p t  

ההבדל בין הנוסחאות הוא הגורם שנכנס בצד ימין של המשוואה - (1+i t) . מהי המשמעות של הגורם הזה?

ניתן לפתור גם את הבעיה הזאת בשיטת "כופלי לגראנג'". פרטי הפתרון מובאים ב נספח ב.

6. גורם הזמן - בעיית המדינה

עכשיו נוסיף לבעיית האדם מהפרק הקודם את בעיית המפעל מ פרק 2. לשם פשטות נניח שהמפעלים הם פשוטים - הם לא עוסקים בהלוואות בריבית, אלא רק מנסים להגדיל את הרווחים שלהם בכל חודש בנפרד, על-פי השיקולים של פרק 2. כלומר, בכל חודש יתקיים הקשר:

p t*f nt=w t

נציב את הקשר הזה במשוואה של פרק 5, ונקבל:

f nt= (-u nt/u ct)*(1+i t)

המשוואה הזאת מגדירה את המצב שבו האנשים והמפעלים עושים את הדבר הכי טוב בשבילם, עבור שער ריבית נתון. עכשיו נשאלת השאלה - מה צריך להיות שער הריבית כך שהמצב הכלכלי במדינה יהיה הכי טוב שאפשר?

7. מדינה בלי כסף

כדי לענות לשאלה הזאת, אנחנו צריכים להסתכל על המדינה מהצד ה'פיסיקלי' שלה, כלומר - להסתכל רק על המוצרים והעבודה ולא על הכסף. הרעיון הוא, שכסף כשלעצמו לא עושה את האנשים מאושרים; מה שעושה אותם מאושרים הוא המוצרים שהם קונים בכסף. הכסף הוא רק אמצעי כדי לחלק את המוצרים בין האנשים. אי אפשר "ליצור" מוצרים יש מאין ע"י הלוואה בריבית, או ע"י כל סידור אחר שקשור לכסף.

בפרק זה נסתכל על המדינה בהיבט 'פיסיקלי': האנשים במדינה עובדים במפעלים, מייצרים מוצרים ומשתמשים בהם. המטרה שלהם היא להביא למקסימום את האושר הכללי שלהם.

האושר הכללי של האנשים בכל תקופה מוגדר, כמו קודם, ע"י הפונקציה:

u(c t,n t)

כאשר c t =כמות המוצרים שיש להם בחודש t , ו- n t =כמות שעות העבודה שהם עובדים בחודש t .

כמות המוצרים הכוללת במשק מוגדרת ע"י פונקציית הייצור:

c t= f(n t)

בסך הכל, האנשים יכולים להשתמש רק במוצרים שהם מייצרים, ולכן אפשר להציב את פונקציית הייצור בפונקציית האושר, ונקבל שהאושר הכללי הוא:

u(f(n t),n t)

כדי למצוא את נקודת המקסימום של האושר, נגזור את הפונקציה לפי n t , בעזרת כלל השרשרת. הנגזרת היא:

u ct* f nt + u nt

הנגזרת שווה לאפס כאשר:

f nt = -u nt / u ct

שוב נסביר את ההגיון מאחורי המשוואה:

המשוואה שקיבלנו היא תנאי הכרחי לכך שהאנשים במדינה ישיגו את רמת האושר המירבית. לא משנה מהי המערכת המסחרית במדינה - אם משתמשים בכסף או בסחר חליפין, עם או בלי הלוואות בריבית; המשוואה הזאת היא 'פיסיקלית'. רק אם המשוואה הזאת מתקיימת, האנשים במדינה מקבלים את הכמות המאוזנת המיטבית של מוצרים ופנאי. אם המשוואה לא מתקיימת, אז - או שהאנשים עובדים יותר מדי ואין להם מספיק זמן לנוח, או שהם עובדים פחות מדי ואין להם מספיק מוצרים.

8. אז מהו שער הריבית הטוב ביותר?

עכשיו נשווה את המשוואה של פרק 6 עם המשוואה של פרק 7. המשוואות מאד דומות - ההבדל היחיד הוא, שבפרק 6 נוסף בצד ימין של המשוואה הגורם (1+i t) . כדי שהמשוואה ה'פיסיקלית' של פרק 7 תתקיים, שיעור הריבית חייב להיות 0!

כדי להבין טוב יותר את הנקודה האחרונה, נסביר שוב את ההבדל בין שתי המשוואות:

המשוואה של פרק 6 מתקיימת בכל מקרה, כי כך האנשים פועלים - כל אחד רוצה להיות כמה שיותר מאושר. אם שיעור הריבית הוא 0, אז גם המשוואה של פרק 7 מתקיימת, והמדינה היא במצב הטוב ביותר האפשרי מבחינה פיסיקלית. אם שיעור הריבית גדול מ0, אז המשוואה של פרק 7 לא מתקיימת - צד שמאל גדול יותר. המשמעות היא, שאנשים לא עובדים מספיק כדי לייצר את המוצרים שהם צריכים כדי להיות מאושרים. אנשים שיש להם כסף מעדיפים להלוות אותו בריבית ולהרוויח עוד כסף, במקום לצאת לעבוד. אנשים שאין להם כסף מעדיפים לקנות פחות מוצרים, כדי שיוכלו לעמוד בתשלומי הריבית.

אם נראה לכם מוזר שיש הבדל בין המצבים, תחשבו על דילמת האסיר המפורסמת מתורת המשחקים - זוהי דוגמה לכך, שכאשר כל אחד פועל משיקולים של תועלת אישית, התועלת של כולם ביחד קטנה יותר.

הקומוניזם ניסה לפתור את הבעיה ע"י כפיה - הממשלה ניסתה לתכנן מראש את מספר שעות העבודה, כמות הייצור וכו', ולכפות על כולם להתנהג בהתאם, במטרה שלכולם יהיה טוב יותר. זה לא הלך, כי אנשים באופן טבעי פעלו ע"פ שיקולים של תועלת אישית והרסו את התכנון הממשלתי (חלק מהאנשים פעלו בצורה עוד יותר גרועה - מרוב כעס על הכפיה, הם השמידו את היבולים שלהם ואת בהמות העבודה שלהם, רק כדי שהממשלה לא תיהנה מהם. כך עשו חלק גדול מהאיכרים בשנים הראשונות לאחר המהפכה, דבר שגרם למחסור כבד).

המשוואות שפיתחנו כאן מראות שאפשר לפתור את הבעיה בדרך אחרת: אם שער הריבית יהיה 0, אנשים באופן טבעי - מרצונם החופשי - יתנהגו בצורה שתביא את המשק למצב הטוב ביותר!

9. הרחבות

הוכחנו את החשיבות של ריבית 0 במדינה מאד פשוטה יחסית. אבל באותה שיטת-עבודה אפשר להוכיח את הטענה גם במדינות יותר מורכבות. הנה כמה הרחבות אפשריות:

כל ההרחבות האלו (והרחבות נוספות שאפשר לחשוב עליהן) מסבכות את החישובים, אבל הן לא משנות את הרעיון המרכזי של ההוכחה: כשכל מגזר במשק חושב רק על עצמו - הדרך היחידה להבטיח ייצור ברמה מיטבית היא לדאוג ששיעור הריבית יהיה 0.

10. מה לעשות כדי שהריבית תהיה 0?

הגענו למסקנה, ששיעור הריבית האידיאלי הוא 0. אבל כאשר אנשים מלווים זה לזה, הם קובעים ביניהם את שער הריבית כרצונם. איך אפשר לוודא, ששער הריבית יהיה 0 לאורך זמן?

אפשרות אחת היא, לקבוע שהמדינה פשוט לא תאכוף הסכמים שיש בהם ריבית. כך, לאנשים יהיה תמריץ שלילי להלוואה בריבית, כי אם הלווה לא יחזיר, ייתכן שלא יוכלו לגבות את החוב. אולם אנשים שירצו להלוות בריבית יוכלו לעקוף את המגבלה בדרכים שונות, לדוגמה, לתת הלוואות בלי ריבית אבל לדרוש תשלום מראש בגובה הריבית שהם רוצים; התשלום לא ייכתב בחוזה ולכן המדינה לא תדע שהיתה כאן ריבית. אפשר לאסור את זה בחוק, אבל לשם כך נצטרך להעסיק שוטרים ופקחים שיאכפו את החוק.

דרך טובה יותר היא להשפיע על שער הריבית בעזרת הכלי המרכזי שהמדינה שולטת בו - המדיניות המוניטרית - קביעת כמות הכסף במשק. בחלקים הבאים של המאמר המקורי, מוכיחים המחברים, שישנו מגוון רחב של מדינויות מוניטריות שיגרמו לכך ששיעור הריבית בשוק החופשי יהיה 0, כלומר, אנשים יפסיקו להלוות בריבית מרצונם החופשי. הפיתוח המתימטי מסובך ולא הצלחתי להבין אותו לגמרי, אולם לשם המחשה, אתאר סוג אחד של מדיניות מוניטרית שמשיגה את המטרה.

לשם כך צריך להסביר, ממה בכלל נובע שער הריבית? אחת הסיבות לכך היא, שאנשים מעדיפים ליהנות עכשיו מאשר בעתיד, ולכן, הם יסכימו לדחות את ההנאה לעתיד, רק אם ההנאה בעתיד תהיה גדולה יותר מההנאה העכשווית שהם מוותרים עליה. לדוגמה, נניח שלאדם יש 100 ש"ח, ונניח שהוא יכול לקנות בהם 100 רימונים - כל רימון בשקל. אם ילווה את הכסף לשנה, לא יוכל לקנות את הרימונים עכשיו, אלא רק בשנה הבאה. הוא יסכים לכך, רק אם כמות הרימונים שיוכל לקנות תהיה גדולה יותר. לדוגמה, נניח שהעדפת הזמן שלו היא 2% - במקרה זה הוא יסכים להלוות, רק אם יקבל בחזרה 102 ש"ח, כך שיוכל לקנות 102 רימונים. במקרה זה, שער הריבית יהיה 2%; שער ריבית זה משמעו, שהתועלת של 100 מוצרים היום, שווה לתועלת של 102 מוצרים מאותו סוג בשנה הבאה.

כעת, נניח שהמדינה נוקטת במדיניות מוניטרית מצמצמת , כלומר, מקטינה את כמות הכסף במחזור (למשל, גובה מיסים ומשמידה את השטרות). הדבר גורם ל דפלציה - ירידת מחירים. לדוגמה, אם המדינה משמידה 1% מהשטרות במחזור, אז תהיה ירידת מחירים של 1%. כך, בשנה הבאה, אדם יוכל לקנות 102 רימונים תמורת 101 ש"ח. כתוצאה מכך, שער הריבית בשוק החופשי יירד ל-1% - המלווה יסכים להלוות 100 ש"ח תמורת 101 ש"ח בשנה הבאה, שבהם יוכל לקנות את אותם 102 רימונים.

ככל שהמדינה תצמצם את כמות הכסף, שער הריבית יירד. בגבול, כאשר צמצום כמות הכסף שואף להעדפת הזמן (במקרה זה: 2%), שער הריבית בשוק החופשי שואף לאפס! בלי שוטרים ובלי פקחים, על-ידי צמצום כמות הכסף, אפשר לגרום לכך שאנשים לא ירצו להלוות בריבית!

כאמור, המאמר המקורי מוכיח שישנו מגוון רחב של מדינויות מוניטריות שיביאו לאותה תוצאה.

11. אם זה כל כך טוב - אז למה לא כולם עושים את זה?

שאלה שבוודאי מטרידה את הקוראים בשלב זה היא: "אם ריבית 0 היא דבר כל-כך נפלא - אז למה לא קמים כולם ומורידים את הריבית לאפס?". הפניתי את השאלה למחברי המאמר, והנה התשובה שקיבלתי:

12. ממה יתפרנסו הבנקים?

שאלה אחרת שבוודאי מטרידה את הקוראים היא: "אם לא יהיו הלוואות בריבית - ממה יתפרנסו הבנקים?!". יש לזה כמה תשובות:

אם אתם מעוניינים לפעול ברמה הפרטית כדי לקרב את המשק לשער ריבית 0 - הנה כמה דברים שאפשר לעשות:

כל משק צריך לשאוף שיוכל להגיע למצב של שער ריבית 0: זהו היעד, זה האתגר שלנו לעתיד.

13. נספח א - מתי האדם הכי מאושר

כזכור מ פרק 3, נסמן את פונקציית האושר של האדם ב: u(c,n) , כאשר c הוא מספר המוצרים שהאדם צורך, ו n הוא מספר שעות העבודה שהאדם עובד. הפונקציה u גדולה יותר ככל ש c גדול יותר (=יותר מוצרים) וככל ש n קטן יותר (=יותר פנאי). { אפשר לטעון שהדוגמה הזאת לא מציאותית, כי יש אנשים שנהנים מהעבודה; אבל גם אדם שאוהב את העבודה רוצה שיהיו לו שעות פנאי, שבהן הוא לא עובד לפרנסתו אלא עושה דברים אחרים. הפונקציה u מאפשרת לנו לחלק את האושר של האדם לשני מרכיבים - מרכיב שצריך לעבוד בשבילו (=מוצרים), ומרכיב שצריך זמן פנוי בשבילו. החלוקה הזאת היא קצת מלאכותית אבל היא מהווה קירוב טוב למציאות }

המטרה של האדם היא להביא למקסימום את הפונקציה:

u(c,n)

תחת האילוץ:

p*c = n*w

כדי להשתמש בשיטת לגרנג' לפתרון הבעיה, יש להציג את האילוץ באופן הבא:

p*c - n*w = 0

כעת נכתוב פונקציה חדשה, שכוללת את הפונקציה המקורית והאילוץ:

u(c,n) - l(p*c - n*w)

המשתנה l  הוא משתנה חדש שהוספנו כדי להכליל את האילוץ בפונקציה. הוא נקרא "כופל לגראנג'".

עכשיו נגזור את הפונקציה הזאת לפי המשתנים c ו n , ונשווה ל0. נקבל שתי משוואות:

גזירה לפי c : u c- l*p = 0                    

גזירה לפי n : u n+l*w = 0                    

מהמשוואה הראשונה נחלץ את l :

l= u c/p

נציב במשוואה השניה ונקבל:

-u n/w = u c/p

14. נספח ב

מטרתו של האדם היא להביא למקסימום את האושר הכללי שלו לאורך כל החיים, שהוא סכום האושר שלו בכל חודש וחודש בנפרד:

SUM t=1..Tu(c t,n t)

המספר T הוא מספר מאד גדול (מספר החודשים הממוצע בחיי האדם).

כזכור מ פרק 5, האילוץ הוא:

w tn t+b t(1+i t) = p t+1c t+1+b t+1

הפונקציה שצריך להביא למקסימום כאן היא פונקציה של הרבה מאד נעלמים - למעשה יש כאן 3T נעלמים ( T נעלמים של כמות המוצרים c t , ועוד T  נעלמים של כמות שעות העבודה n t , ועוד T  נעלמים של כמות ההלוואות בריבית b t ). יש גם T  אילוצים (אחד עבור כל תקופה), ולכן דרושים T  כופלי לגראנג' כדי להכליל אותם במשוואה. נסמן את כופלי לגראנג' ב l t . המשוואה שמתקבלת היא:

SUM t=1..Tu(c t,n t) - l t(p t+1c t+1+b t+1- w tn t-b t(1+i t))

נגזור לפי כל אחד מ 3T  הנעלמים:

גזירה לפי c t : u ct- l t-1p t=0                     

גזירה לפי n t : u nt+l tw t= 0                    

גזירה לפי b t : -l t-1+l t(1+i t) = 0                    

נציב את l t-1  מהמשוואה השלישית בראשונה ונקבל:

u ct-l t(1+i t)p t=0

עכשיו נחלץ את l t  ונציב במשוואה השניה (כמו ב נספח א), ונקבל:

-u nt(1+i t)/w t= u ct/p t

15. נספח ג - הוספת השקעות הון והעדפת זמן

בנספח זה ננסה לפתור את שלוש הבעיות - בעיית המפעל במשק עם כסף, בעיית האדם במשק עם כסף, והבעייה המשותפת במשק בלי כסף - כאשר המודל כולל גם השקעות הון והעדפת זמן. במודל זה, המפעלים והאנשים צריכים לקבל החלטות, לא רק לגבי שעות עבודה (כמה שעות לשכור / כמה שעות לעבוד), אלא גם לגבי הון (כמה הון לשכור / כמה הון לייצר).

נסמן באות k את כמות ההון שיש לכל אדם, ובאות r את שיעור דמי השכירות. כל אדם יכול להשכיר את ההון שלו למפעלים, ולקבל דמי שכירות בסך kr ש"ח (בנוסף להשכרת שעות עבודה תמורת nw ש"ח). כמו כן, כל אדם יכול להשקיע חלק מהכסף שלו בקניית יחידות של הון חדש (במחיר p), כך שההון שלו בתקופה הבאה יגדל (במאמר המקורי התייחסו גם לעובדה שההון נשחק; כאן נתעלם מהשחיקה ונניח שההון רק מצטבר).

בעיית המפעל

פונקציית הייצור של המפעל תלויה הפעם בשני גורמים: כמות שעות-העבודה שמשכירים לו בתקופה הנוכחית, וכמות ההון שהשכירו לו בתקופה הקודמת (כי ההון צריך להיות מוכן מראש): f( n t , k t-1 ) .

הרווח הנקי של החברה יהיה:

p t * f( n t , k t-1 ) - w t * n t - r t * k t-1

בנקודת המקסימום, שתי הנגזרות החלקיות מתאפסות, ומקבלים שני תנאים: תנאי אחד על כמות העבודה (זהה לקודם):

p t*f'nt= w t

ותנאי נוסף על כמות ההון:

p t * f'k(t-1)= r t

כלומר: מספר המוצרים שהמפעל יוכל להפיק אם ישכור עוד יחידת-הון אחת (מההון שהיה מוכן בסוף התקופה הקודמת), כפול המחיר שהמפעל יוכל לקבל על המוצרים הללו, שווה בדיוק לעלות של אותה יחידת הון. 

בעיית האדם

נסמן באות v את העדפת הזמן של האדם. v הוא מספר קטן מאחד; התועלת של v מוצרים היום, שווה לתועלת של מוצר אחד בתקופה הבאה. מטרתו של האדם היא להביא למקסימום את האושר הכללי שלו לאורך כל החיים, שהוא סכום האושר שלו בכל חודש וחודש בנפרד, כאשר מתחשבים בהעדפת הזמן:

SUM t=1..T(v^t) * u(c t,n t)

בסוף כל תקופה, אדם מקבל שכר על העבודה שהשקיע בתקופה, ועל ההון שהיה לו בתקופה הקודמת, וכן את הריבית על ההלוואות:

w tn t+ b t(1+i t) + r tk t-1

הוא משתמש בכסף הזה בתקופה הבאה, כדי לקנות מוצרים, לתת הלוואות, ולהשקיע בהון חדש:

p t+1 c t+1 + b t+1 + p t+1 (k t+1 - k t)

שני הסכומים הללו צריכים להיות שווים - זה האילוץ העומד בפני האדם.

כדי לפתור את הבעיה עם האילוץ, נוסיף את האילוץ לפונקציה עם כופל-לגרנג':

SUM t=1..T(v^t) * u(c t,n t) - l t(pt+1ct+1+ bt+1+ pt+1(kt+1- kt)   -  ( w tn t+ b t(1+i t) + r tk t) )

ונגזור לפי כל אחד מ 4T  הנעלמים:

גזירה לפי המוצרים:  v^t * u ct- l t-1p t=0                     

גזירה לפי העבודה: v^t * u nt+ l tw t= 0                    

גזירה לפי ההלוואות: -l t-1+l t(1+i t) = 0                     

גזירה לפי ההון:              ltpt+1 + lt rt - lt-1pt =0     

נציב את l t-1  מהמשוואה השלישית בראשונה ונקבל:

v^t * u ct-l t(1+i t)p t=0

המשך יבוא (אולי..)

בעיית המדינה 

המשך יבוא (אולי..)

מדינה בלי כסף

במדינה בלי כסף, ישנה רק פונקציית תועלת:

U = SUM t=1..T(v^t) * u(c t,n t)

כאשר כמות מוצרי-הצריכה c שווה לכמות המוצרים הכוללת הנקבעת ע"י פונקציית הייצור, פחות הכמות המשמשת להשקעה בהון חדש (k t- kt-1).

U = SUM t=1..T(v^t) * u( f(n t, kt-1) - (k t- kt-1),  n t)

הנגזרת לפי כל אחד מהמשתנים n t  תהיה:

v^t * (u ct* f nt+ u nt)

הנגזרת לפי המשתנים k tתהיה:

v^t * u ct* (f kt+1) + v^(t-1)  * u c(t-1)* (-1)

נקבל תנאי אחד על הנגזרות לפי עבודה, שיהיה דומה לקודם, וייצג את שיווי המשקל בין עבודה לבין צריכה בכל תקופה:

f nt = -u nt / u ct

ותנאי אחד חדש, על הנגזרות לפי הון:

(f kt+1) = u c(t-1)  / v u ct

התנאי הזה מייצג את העובדה, שכאשר אנשים משקיעים בהון, הם מוותרים על צריכה בהווה, לטובת צריכה בעתיד:

עידכון

המאמר נכתב בסביבות שנת 2005. שיעור הריבית בישראל היה אז 6%. מאז ועד היום, שיעור הריבית ירד בהתמדה. היום, 10 שנים מאוחר יותר, שיעור הריבית בישראל קרוב ל-0%. גם בארה"ב המצב דומה.

תגובות